In Irlanda le precipitazioni sono diffusissime, specialmente nell'ovest dove ormai fanno parte della vita
quotidiana (fonte Wikipedia).
Non dobbiamo stupirci, quindi, se in una serena mattinata di agosto vediamo la gente passeggiare con l'ombrello.
La ragione è semplice: tra agosto e gennaio la frequenza delle precipitazioni è altissima, il tempo cambia molto
rapidamente e, quasi ogni giorno, piove almeno una volta.
E' questo un classico esempio di evento prevedibile. Tutti sanno che il cielo del mattino non è un buon indicatore
del tempo e sanno anche che, quasi certamente, pioverà.
Analogamente, chiunque abbia un pizzico di conoscenze finanziarie, sa che il prezzo di uno zero coupon con
rating AAA, fra due settimane sarà maggiore del prezzo di oggi.
Non c'è incertezza, uno zero coupon è un titolo obbligazionario che viene emesso ad un prezzo inferiore a 100 che,
giorno dopo giorno, converge verso il suo prezzo di rimborso (ossia 100).
Nessuno si aspetta che tale titolo possa subire bruschi cambiamenti di prezzo da un giorno con l’altro,
esattamente come nessuno si aspetta di poter prevedere con certezza il tempo in Irlanda osservando il cielo
del mattino.
La variabilità degli eventi, siano essi fenomeni fisici, meteorologici, sociali o quant’altro, è da sempre
oggetto di studio della statistica descrittiva, ossia di quella branca della matematica che, per l’appunto,
cerca di descrivere e comprendere il mondo che ci circonda. Uno dei più diffusi strumenti creati da questa
scienza è la media aritmetica.
Immaginiamo due classi composte da 6 alunni ciascuna che svolgono il medesimo test di matematica e immaginiamo
che questi siano i loro voti:
La media dei voti degli alunni è un indicatore sintetico della preparazione dei dodici allievi. Tale valore viene
calcolato facendo la somma di tutti i voti e dividendo il risultato per 12 (ossia per il numero dei voti assegnati).
In questo esempio la media dei dodici voti è pari a 6, pertanto, secondo quanto ci dice la statistica descrittiva,
possiamo affermare che la preparazione globale è mediamente sufficiente.
La media è un indicatore molto utile quando, ad esempio, si voglia valutare la capacità di un insegnante di svolgere
con efficacia il proprio lavoro. Più numerosi sono gli studenti cui questi insegna, più significativo sarà il dato
medio che ne emerge. Se la media dei voti di tutti gli studenti è elevata, possiamo concludere di avere a che fare
con un ottimo insegnante.
Quando abbiamo a che fare con un’attività finanziaria, invece che con un insegnante di matematica, il discorso non
cambia. Se le variazioni di prezzo settimanali (ossia i rendimenti settimanali) sono in media positive, possiamo
dire di avere a che fare con uno strumento finanziario interessante. Quanto più numerosi sono i dati sui quali tale
media viene calcolata, tanto più significativo sarà il valore del dato medio.
Questo concetto di “rendimento medio” è particolarmente importante tanto da assumere un ruolo centrale non solo nella
teoria di costruzione di portafogli che in questo corso andremo ad affrontare, ma anche in tutti i più avanzati
modelli di pricing degli strumenti derivati e nelle più complesse metodologie di calcolo e modellazione dei rischi
di mercato.
Il concetto, in sé, è abbastanza semplice: data un’attività finanziaria si definisce “rendimento” la variazione di
prezzo che essa registra in un dato intervallo temporale. Tale grandezza rappresenta l’utile o la perdita in cui
un investitore sarebbe incorso in quell’arco di tempo. Se l’unità di tempo cui ci riferiamo è la settimana, parleremo
di rendimento settimanale che calcoleremo come variazione percentuale del prezzo di quell’attività registrata tra
un lunedì ed il successivo venerdì.
Poter disporre di una lunga serie storica sulla quale calcolare numerosi rendimenti settimanali, permette di calcolare
un rendimento medio che fornisce una prima importante informazione sull’interesse che quella specifica attività
finanziaria potrà avere per noi.
Tornando con la mente a quanto dicevamo nella prima lezione di questo corso, potremmo affermare che il rendimento
medio settimanale storico è una buona approssimazione del rendimento atteso per la prossima settimana. La domanda,
naturalmente, è la seguente: quanto è buona questa approssimazione? Di quanto rischiamo di sbagliarci?
È proprio a questo punto che entra in gioco la volatilità.
Vediamo, però, di procedere per gradi e torniamo all’esempio delle due classi di studenti di matematica.
Se proviamo a calcolare la media dei voti dei sei studenti della Classe 1 e dei sei studenti della Classe 2, scopriamo
che in entrambi i casi essa è pari a 6. Se ci accontentassimo del dato medio, quindi, potremmo dire che le due classi
sono uguali.
Se però ci affidiamo al nostro buon senso e osserviamo i voti dell’una e quelli dell’altra classe, ci salta
all’occhio un’evidentissima differenza. Nella seconda classe tutti hanno la sufficienza, non ci sono né geni né
somari ed il voto medio è, effettivamente, rappresentativo della preparazione della classe.
Nella prima classe, invece, le cose non sono così. La media dei voti è 6, ma in realtà nessuno studente ha il 6.
Nella Classe 1 ci sono tre pessimi studenti e tre fenomeni matematici. Il valore medio, in questo caso, non
rappresenta bene la classe in quanto non mette in evidenza quella che si definisce la variabilità dei voti osservati.
Questo limite della media aritmetica è, ovviamente, noto. Per questa ragione i teorici della statistica descrittiva
hanno ideato un altro indicatore (la deviazione standard) che ha proprio lo scopo di misurare quanto i singoli dati
osservati si discostano dal valore medio. Un alto valore di deviazione standard sta ad indicare che il valore medio
cade in mezzo a numerosi valori tra loro molto lontani. È il caso della Classe 1 nella quale nessuno studente ha
un 6, mentre la media è 6 solo perché cade nel mezzo di valori fra loro molto distanti. La Classe 2, invece,
presenta una deviazione standard molto bassa (per la precisione nulla) in quanto tutti i dati osservati
coincidono con la media.
Immaginiamo, ora, di organizzare un compito in classe di matematica a sorpresa per tutti i 12 studenti. Che voto
possiamo prevedere che prenderanno? In mancanza di meglio potremmo fare riferimento alla media storica. La media
è 6, quindi ci aspetteremo un 6 da tutti i dodici studenti. Così facendo, molto probabilmente, avremo maggior
successo con gli studenti della seconda classe piuttosto che con quelli della prima.
La ragione di ciò è intuitiva:
quando la variabilità è molto elevata (alto valore della deviazione
standard)
il dato medio non è rappresentativo e, pertanto, nemmeno predittivo.
Torniamo ora, nuovamente, all’esempio del prezzo di un titolo zero coupon che, per brevità, chiameremo “ZC”.
Se ogni settimana il rendimento del nostro ZC (ossia la sua variazione percentuale di prezzo) è pari allo 0,04%,
allora anche la media di tutti i rendimenti settimanali sarà 0,04%. Possiamo quindi affermare che, in media,
la variazione percentuale di prezzo dello ZC è pari allo 0,04% e, poiché la deviazione standard della serie
di rendimenti osservati è molto bassa (ogni settimana osserviamo sempre lo stesso valore di rendimento),
possiamo anche affermare che tale valore medio rappresenta una buona stima del rendimento per la settimana
ancora da venire.
Detta in parole più semplici la questione è la seguente: se tutte le settimane lo ZC si apprezza sempre nella
stessa misura, allora è probabile che anche la prossima settimana faccia la stessa cosa!
Il rendimento medio ci fornisce la previsione, mentre la variabilità dei dati sui quali questa media è calcolata
(ossia la deviazione standard) ci dice quanto la previsione sarà affidabile.
Quanto detto finora rappresenta una semplificazione del seguente principio fondamentale: